В современном русском языке частицу «по» можно писать со словами тремя способами: через дефис, раздельно, слитно. В этой связи действительно можно не сразу понять, как правильно пишется слово (по) квартирно. Поэтому давайте остановимся на нем более подробно и определим его правописание.
Сначала выясним, что это за часть речи. Сделать это просто, для этого достаточно задать вопрос «как?» и понять, что это наречие. Наречие действительно можно писать с частицей «по» тремя вышеобозначенными способами.
Правда, чтобы поставить дефис, оно должно образоваться от местоимения или прилагательного с помощью суффикса «-ому», «-ему», «-ьи», «-ки», «-ни». В этой связи одни способ сразу отпадает.
Чтобы написать наречие раздельно, в русском языке должно существовать самостоятельное слово квартирно. И очевидно, что такая словоформа не существует. Следовательно, остался только слитный вариант написания.
Правильный ответ: поквартирно.
Более подробно о слитном, раздельном и дефисном правописание наречий можно прочитать тут.
Осмотр произведем поквартирно в течение завтрашнего дня.
