мечом или мечём
В существительном «мечом» пишут букву «о» в окончании. Благодаря правилу сомнения с написанием буквы «о» или «ё» исключены.
Правила
Писать слово «мечом» с буквой «о» рекомендует правило русского языка. В нем сказано, что в существительных, которые заканчиваются шипящими буквами «ж», «ч», «ш», «щ» при употреблении слова в творительном падеже и при попадании на этот слог ударения, нужно писать букву «о».
«Мячом» полностью соответствует всем требованиям правила, так как это творительный падеж и ударение падает на последний слог слова. Соответственно, в этом случае нужно писать букву «о».
